수학1

단원별문제

1-2 나머지 정리 (1)회

고등

중간기말고사 완벽대비 프로젝트                                                        초중고 학습자료포탈 공부하자닷컴

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등식 [eqn: { 1} over {x^2 -x }= a overx + { b} over {x-1 }]가 [eqn: x]에 대한 항등식일

④

풀이 :  등식의 우변을 통분하여 정리하면

[eqn: { 1} over {x(x-1) }= { (a+b)x-a} over {x(x-1)}]

이 식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 분자의 계

수를 비교하면

[eqn: a+b=0,~-a=1~~~~therefore a=-1,~b=1]

[eqn: therefore b-a=2]

때, [eqn: b-a]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x^3 -1`]로 나눈 몫이 [eqn: x+1], 나머지가 [eqn: x^2 +3x+3`]일 때, [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x^2 -1`]로 나눈 나머지는?

⑤

풀이 :  [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x^3 -1`]로 나눈 몫이 [eqn: x+1], 나머지가

[eqn: x^2 +3x+3`]이므로

[eqn: P`(x) = (x^3 -1)(x+1) + x^2 +3x+3]	[eqn: cdotscdots~㉠]

[eqn: P`(x)`]를 [eqn: x^2 -1`]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)], 나머지를 [eqn: ax+b`]라 하면

[eqn: P`(x) =(x^2 -1)`Q`(x) +ax+b]   [eqn: cdotscdots~㉡]

㉠에 [eqn: x=1], [eqn: x=-1]을 각각 대입하면

[eqn: P`(1)=7], [eqn: P`(-1)=1]

㉡에 [eqn: x=1], [eqn: x=-1`]을 각각 대입하면

[eqn: P`(1) = a+b], [eqn: P`(-1)=-a+b]

[eqn: therefore~a+b=7], [eqn: -a+b =1]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=3], [eqn: b=4]

따라서, [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x ^{2} -1`]로 나눈 나머지는 [eqn: 3x+4`]이

다.

① [eqn: 3x-2]	② [eqn: 3x-3]	③ [eqn: 3x+3]

④ [eqn: 3x-4]	⑤ [eqn: 3x+4]

모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: { x^2 +bx+a} over { 2x^2 +ax+1}] 의 값이 일정할 때, 두 상수 [eqn: a,b``]에 대하여 [eqn: a+b``]의 값은?

⑤

풀이 :  [eqn: { x^2 +bx+a} over { 2x^2 +ax+1}=k``(k]는 상수) 라 하면

[eqn: { x^2 +bx+a} ={ 2kx^2 +akx+k}]

이 식은 [eqn: x``]에 대한 항등식이므로 각 항의 계수를

비교하면 [eqn: 1=2k,~b=ak,~a=k]

[eqn: k= { 1} over {2 }] 이므로 [eqn: a= { 1} over {2 },~b= { 1} over { 4}]

∴ [eqn: a+b= { 3} over { 4}]

① [eqn: { 7} over {3 }]	② [eqn: { 1} over {2 }]	③ [eqn: { 1} over {3 }]

④ [eqn: { 7} over {2 }]	⑤ [eqn: { 3} over {4 }]

삼차 이상의 다항식 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(1)=2,~f(2)=3]이고, [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 하자. 이 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지는?

⑤

풀이 :  [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax +b]라 하면

[eqn: f(1)=2]에서 [eqn: a+b=2]

[eqn: f(2)=3]에서 [eqn: 2a+b=3]

[eqn: therefore a=1,~b=1]

[eqn: therefore f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+x+1]

따라서, [eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 [eqn: f(3)]이므로

[eqn: f(3)=2Q(3)+4]

① [eqn: Q(3)+2]	② [eqn: Q(3)+4]	③ [eqn: 2Q(3)]

④ [eqn: 2Q(3)+2]	⑤ [eqn: 2Q(3)+4]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+2]가
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]으로 나누어 떨어질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: a-b]의 값은?

④

풀이 :  [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-`1 RIGHT ) ^{2}]으로 나눈 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]라 하면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+2][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} `Q LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: 1+a+b+2=0]
∴ [eqn: b=-a-3]	[eqn: ·····``㉠]
∴ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( -a-3 RIGHT ) x+2]
[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT { x ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) x-2 RIGHT }][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} Q LEFT ( x RIGHT )]
즉, [eqn: x ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) x-2= LEFT ( x-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )]     [eqn: ·····``㉡]
㉡에서 [eqn: b=-3],	∴ [eqn: a-b=3]

다른 풀이

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 2]
		[eqn: 1]	[eqn: a+1]	[eqn: a+b+1]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: a+1]	[eqn: a+b+1]	[eqn: a+b+3=0]	[eqn: ·····``㉠]
		[eqn: 1]	[eqn: a+2]
	[eqn: 1]	[eqn: a+2]	[eqn: 2a+b+3=0]		[eqn: ·····``㉡]

㉠, ㉡ㅔ서 [eqn: a=0], [eqn: b=-3]	∴ [eqn: a-b=3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

등식 [eqn: x^2 y+x-2xy+y-1=0]이 [eqn: y]의 값에 관계없이 성립할 때, 실수 [eqn: x]의 값은?

④

풀이 :  주어진 식을 [eqn: y]에 대하여 정리하면

[eqn: (x^2 -2x+1)y+(x-1)=0]

이 식이 [eqn: y]에 대한 항등식이므로

[eqn: x^2 -2x+1=0,~~x-1=0]        [eqn: therefore x=1]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이차 이상의 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -1]로 나누었을
때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때,
[eqn: 2R(0)]의 값은?

①

풀이 :  [eqn: f(x)=(x^2 -1)Q(x) +R(x)~~cdots㉠]

에서 [eqn: R(x)=ax+b]라고 놓을 수 있다.

[eqn: R(0)=b]

그런데, ㉠은 항등식이므로 ㉠에서 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)=R(1)=a+b][eqn: ~~~cdots㉡]

㉠에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: f(-1)=R(-1)=-a+b]  [eqn: cdots㉢]

㉡, ㉢에서 [eqn: f(1)+f(-1)=2b]

[eqn: therefore 2R(0)=f(1)+f(-1)]

① [eqn: f(1) +f(-1)]	② [eqn: f(1)-f(-1)]

③ [eqn: 2f(1)-f(-1)]	④ [eqn: 2LEFT { f(1)+f(-1) RIGHT }]

⑤ [eqn: 2LEFT { f(1)-f(-1) RIGHT }]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)=x ^{3} +(k+2)x ^{2} +2x-2]가[eqn: x+1]을 인수로 가질 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

③

풀이 :  인수정리에 의하여

[eqn: f(-1)=-1+k+2-2-2 =0 ~~therefore k=3]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-2]로 나누면 나머지가 [eqn: 5]이고, [eqn: x-3]으로 나누면 나머지가 [eqn: 9]이다. 이 다항식을 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나눌 때의 나머지를 구하여라.

[eqn: 4x-3]

풀이 :  [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x),] 나머지를 [eqn: ax+b] 라 하면

[eqn: f(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b]

[eqn: f(2)=2a+b=5]

[eqn: f(3)=3a+b=9]

[eqn: a=4, ~b=-3]

따라서, 구하는 나머지는 [eqn: 4x-3]이다.

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x- 1over3]으로 나룰 때, 몫은 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )],
나머지는 [eqn: R]이다. 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: 3x-1]로 나눈 몫과 나머지를 구하면?

③

풀이 :  [eqn: f`(x) =left( x- 1 over3 right) Q`(x) +R`]

[eqn: =(3x-1 ) 1 over3 Q`(x) +R`]

따라서, 몫은 [eqn: 1 over3 Q`(x)], 나머지는 [eqn: R`]이다.

① [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ),~R]	② [eqn: 3Q LEFT ( x RIGHT ),~R]

③ [eqn: 1over3 Q LEFT ( x RIGHT ), R]	④ [eqn: 1over 3 Q LEFT ( x RIGHT ),~3R]

⑤ [eqn: 3Q LEFT ( x RIGHT ) , {1} over {3} R]

다항식 [eqn: f`(x)]에 대하여 다음 중 [eqn: x-alpha]로 나누었을 때, 나머지가 서로 같은 다항식끼리 짝지은 것은? (단, [eqn: alpha!=0])

②

풀이 :  [eqn: x-alpha]로 나누었을 때, 나머지가 서로 같은 다항식은 [eqn: x=alpha]일 때의 값이 같은 식이므로

② [eqn: f`(2alpha-alpha)=f`(alpha)]

① [eqn: f`(2x-alpha),~f`(x-alpha)]	② [eqn: f`(2x-alpha),~f`(x)]

③ [eqn: f`(x),~f`(x-alpha)]	④ [eqn: f`(x)-f`(alpha),~f`(x)]

⑤ [eqn: f`(x)-f`(alpha),~f`(x-alpha)]

다항식 [eqn: (x+1)^2002]을 [eqn: x^2 -1]로 나눈 나머지를
[eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(-2)]의 값은?

④

풀이 :  [eqn: (x+1)^ 2002]을 [eqn: x^2 -1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)=ax+b]라 하면

[eqn: (x+1)^ 2002 =(x^2 -1)Q(x) +ax +b~~~~~cdots㉠]

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a+b=2 ^2002]

㉠의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: -a +b =0]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=b=2^2003]이므로

[eqn: R(x)=2^2001 (x+1)]

[eqn: R(-2)=-2^2001]

① [eqn: 3 times2^2001]	② [eqn: -3 times2^2002]	③ [eqn: -2^2000]

④ [eqn: -2^2001]	⑤ [eqn: -2^2002]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2x+1]이고, [eqn: x^2 -4]로 나누었을 때의 나머지가
[eqn: -x+4]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -x -2]로 나누었을 때의 나머지는?

①

풀이 :  [eqn: f(x)=(x^2 -1)Q(x) + 2x +1]에서 [eqn: f(-1)=-1]

[eqn: f(x)=(x^2 -4)Q prime (x)-x +4에서~f(2)=2]

[eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -x -2]로 나눈 나머지를 [eqn: ax +b]라 하면

[eqn: f(x)= (x-2)(x+1)Q prime prime (x) + ax +b]

[eqn: f(-1)= -a+b=-1~~~cdots㉠]

[eqn: f(2)=2a+b=2~~~~cdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=1,~b=0]

따라서, 구하는 나머지는 [eqn: x 이다.]

① [eqn: x]	② [eqn: x+1]	③ [eqn: -x+1]

④ [eqn: -x+2]	⑤ [eqn: x-2]

다항식 [eqn: x^4]을 [eqn: x+1]로 나눌 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때, [eqn: Q(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는?

⑤

풀이 :  [eqn: x^4]을 [eqn: x + 1]로 나눈 몫 [eqn: Q(x)]를 조립제법을 이용하여 구하면 다음과 같다.

[eqn: therefore~~ Q(x 0 = x^3 - x^2 + x - 1]

따라서, [eqn: Q(x)]를 [eqn: x -2]로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해 [eqn: Q(2)]이므로 [eqn: Q(2) = 2^3 - 2^2 + 2 - 1 = 5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항식 [eqn: x ^{3} +x+1]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

[eqn: 2]

풀이 :  [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +x+1]이라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3] 이므로

·[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +3]	[eqn: ·····``㉠]
[eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지는  [eqn: Q LEFT ( -1 RIGHT )] 이므로 ㉠

에 [eqn: x=-1]을 대입하면
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =2Q LEFT ( -1 RIGHT ) +3]

[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} + LEFT ( -1 RIGHT ) +1=-2Q LEFT ( -1 RIGHT ) +3]    ∴ [eqn: Q LEFT ( -1 RIGHT ) =2]

다항식 [eqn: f(x) = x^3 +mx^2 +nx +2]를 [eqn: x-1,````x-2]로 나누었을 때의 나머지가 각각 [eqn: 1,2]일 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지를 구하여라. (단, [eqn: m,``n]은 실수)

11

풀이 :  [eqn: f(1)= 1+m+n+2=1]에서 [eqn: m+n=-2]

[eqn: f(2)=8+4m+2n+2 =2에서~2m+n=-4]

연립하여 풀면, [eqn: m=-2,~n=0이므로 ~f(x)=x^3 -2x^2 +2]

따라서, [eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 [eqn: f(3)=11]

다항식 [eqn: x^3 + 5`x^2 + 10`x + 6``]이
[eqn: ( x + a` )( x^2 + 4`x + b`)``]로 인수분해될 때, [eqn: a + b``]의 값을 구하시오.

[eqn: 7`]

풀이 :  [eqn: f`(x`) `=` x^3 + 5`x^2 + 10`x + 6``]이라 하면,

[eqn: f`(-1) `=` 0``]이므로,

[eqn: f`(x`)``]는 [eqn: x`+`1``]을 인수로 갖는다.

[eqn: 5`]

[eqn: -6`]

[eqn: 6`]

[eqn: 6`]

[eqn: -1`]

[eqn: 0`]

[eqn: 10`]

[eqn: 4`]

[eqn: -4`]

[eqn: -1`]

[eqn: 1`]

[eqn: 1`]

[eqn: therefore ~~ f`(x`) `=` ( x+1 )( x^2 + 4`x + 6 )``]이므로
[eqn: a `=` 1,~ b `=` 6`]

[eqn: therefore ~~ a `+` b `=` 7``]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: 1]

풀이 :  우변을 통분하여 정리하면

[eqn: 3x over {x^3 +1 } = {a(x^2 -x +1 )+(bx +c)(x+1) } over { (x+1)(x^2 +x +1 )}]

[eqn: = {(a+b)x^2 + (-a +b+c )x +a +c } over {x^3 +1 } `]

양변에서 분자끼리 계수를 비교하면

[eqn: a+b=0`], [eqn: -a+b+c=3`], [eqn: a+c=0`]

위의 세 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=-1`], [eqn: b=1`], [eqn: c=1`]

∴ [eqn: a+b+c=1`]

[eqn: 3x over {x^3 +1 } = a over x+1 + bx+c over {x^2 -x+1 } `]가 성립하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]의 값을 정할 때, [eqn: a+b+c`]의 값을 구하여라.

다항식[eqn: f``(x)``]를 [eqn: 2x^2 -1``]로 나누었을 때의 몫이[eqn: x,] 나머지가[eqn: -6x+9``]이다. 이 다항식 [eqn: f``(x)```]를 [eqn: x+2```]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

[eqn: 7]

풀이 :  [eqn: f``(x) = (2x^2 -1)x -6x +9]이므로 [eqn: f``(x)]를
[eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: f``(-2) = (2 times 4 -1 )(-2) -6 (-2) +9 = 7]

다항식 [eqn: f``(x)`]를 [eqn: x-2`]로 나눈 몫이
[eqn: x^2 + x+2`]이고 나머지가 [eqn: 3`]이다. [eqn: f``(x)`]를
[eqn: x+2`]로 나눈 나머지를 구하시오.

-13

풀이 :  ⅰ) [eqn: x^2 `≧``6x] 일 때

즉, [eqn: x(x-6)≧0,] [eqn: x≦0~또는 ~x≧6] 일 때

[eqn: x^2 +6x =40``], [eqn: (x+10)(x-4)=0]

∴ [eqn: x=-10``]

ⅱ) [eqn: x^2 `<`6x]일 때

즉, [eqn: x(x-6)`<`0,~~0`<`x`<`6] 일 때

[eqn: x^2 -6x+48=40``], [eqn: x^2 -6x+8=0``]

[eqn: (x-2)(x-4)=0]

∴ [eqn: x=2,~~4]

ⅰ), ⅱ)에서 [eqn: x=-10, ~2,~4]

따라서 [eqn: x]의 값들의 총합은 [eqn: -4``]이다.

다항식 [eqn: P(x) = x^3 + x^2 +ax +b]가 [eqn: (x+1)^2]으로 나누어 떨어질 때, [eqn: P(x)]를 [eqn: x - 3]으로 나눈 나머지를 구하시오. (단, [eqn: a,``b]는 상수이다.)

[eqn: 32]

풀이 :  [eqn: P(-1) = -1 +1 -a+b = 0]
∴[eqn: b =a]
[eqn: P(x) = x^3 +x^2 +ax +a = (x+1)( x^2 +a )]
에서 [eqn: x^2 +a]가 [eqn: x +1]을 인수로 가져야 하므로
[eqn: 1+a = 0]	∴ [eqn: a = -1], [eqn: b = -1]
[eqn: P(x) = x^3 +x^2 -x -1]이고 [eqn: P(x)]를 [eqn: x -3]으로 나눈 나머지 [eqn: P(3) = 32]이다.

다항식 [eqn: f`(x)]를 [eqn: x-2,~x-3]으로 나누었을 때 나머지가 각각 [eqn: 1,~4]이다. [eqn: f`(x)]를 [eqn: x^2`-5x+6]으로 나눈 나머지를 [eqn: ax+b]라 할 때, [eqn: a-b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b]는 상수)

[eqn: 8]

풀이 :  [eqn: f`(x)]를 [eqn: x^2`-5x+6]으로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)]라 하면

[eqn: f`(x)=(x^2`-5x+6)Q`(x)+ax+b]

[eqn: =(x-2)(x-3)Q`(x)+ax+b]

나머지 정리에 의해 [eqn: f`(2)=1,~f`(3)=4]이므로

[eqn: f`(2)=2a+b=1,~f`(3)=3a+b=4]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=3,~b=-5]

[eqn: therefore~a-b=8]

[eqn: x]에 대한 삼차식 [eqn: x^3`+mx^2`+nx+1]을 [eqn: x+1]로 나누면 나머지가 [eqn: 5]이고, [eqn: x-2]로 나누면 나머지가 [eqn: 1]일 때, [eqn: m+n]의 값을 구하여라. (단, [eqn: m,~n]은 상수)

[eqn: -1]

풀이 :  [eqn: f`(x)=x^3`+mx^2`+nx+1]이라 하면 나머지 정리에 의해 [eqn: f`(-1)=-1+m-n+1=-5]

[eqn: therefore~m-n=-5] [eqn: cdotscdots~㉠]

[eqn: f`(2)=8+4m+2n+1=1]

[eqn: therefore~2m+n=-4] [eqn: cdotscdots~㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: m=-3,~n=2]

[eqn: therefore~m+n=-1]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: (x^2 +x-1)^10 =a_0 +a_1 x + a_2 x^2 + cdots+ a_9 x^9 +a_10 x^10]이 항상 성립할 때, [eqn: a_0 + a_2 + cdots+ a_8 + a_10]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a_0 ,~a_1 ,~a_2 ,~cdots,~a_9 ,~a_10]은 상수이다.)

[eqn: 1]

풀이 :  주어진 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변에

어떠한 값을 대입해도 항상 성립한다.
주어진 등식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: 1= a_0 + a_1 + a_2 + a_3 +cdots+ a_9 + a_10]	[eqn: cdotscdots``]㉠
주어진 등식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면
[eqn: 1= a_0 - a_1 + a_2 - a_3 +cdots- a_9 + a_10]	[eqn: cdotscdots``]㉡
㉠[eqn: +]㉡을 하면
[eqn: 2=2( a_0 + a_2 + cdots+ a_8 + a_10 )]
[eqn: therefore~a_0 + a_2 + cdots+ a_8 + a_10 =1]

조립제법을 이용하여 다항식
[eqn: 2x^3 +3x^2 -4x-2]를 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하여라.

몫 : [eqn: x^2 +2x-1], 나머지 : [eqn: -3]

풀이 :  [eqn: 2x-1 = 2 left( x - 1 over2 right)]이므로 [eqn: 2x^3 +3x^2 -4x-2]를

[eqn: x- 1 over2]로 나누면 아래와 같은 조립제법에 의해

[eqn: 1 over2]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: -4]	[eqn: -2]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -1]
	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: -2]	[eqn: -3]

[eqn: 2x^3 +3x^2 -4x-2= left( x - 1 over2 right) (2x^2 +4x-2)-3]
[eqn: =2left( x- 1 over2 right)(x^2 +2x-1)-3]
[eqn: = (2x-1)(x^2 +2x-1)-3]
따라서 다항식 [eqn: 2x^3 +3x^2 -4x-2]를 [eqn: 2x-1]로 나누었

을 때의 몫은 [eqn: x^2 +2x-1], 나머지는 [eqn: -3]이다.

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[정답]